terça-feira, 16 de julho de 2013

Problema dos aniversários


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Esse é mais um dos interessantes problemas envolvendo cálculo de probabilidades que gostaria de apresentar aqui nesse espaço. Novamente, o problema é geral e serve para uma série de contextos mas o mais interessante é coloca-lo no contexto de aniversários. 

A pergunta é a seguinte: em um grupo de N pessoas quaisquer, qual é a probabilidade de ter pelo menos 2 dessas pessoas fazendo aniversário no mesmo dia? Poderia se imaginar que, para ter boas chances de alguma coincidência de datas de aniversário, precisaríamos ter algo em torno de 100 (ou quem sabe 200) pessoas. Afinal, o ano tem 365 (ou 366) dias. A surpresa da conta é que as chances de pelo menos 2 aniversariantes no mesmo dia é alta mesmo para grupos muito menores. 

Essa é uma brincadeira interessante e que, como é baseada na probabilidade, não falha. Sempre faço essa conta em sala de aula e aplico com as datas de aniversários dos préprios alunos. Isso ajuda a motiva-los para o aprendizado de probabilidade. 

A tabela abaixo calcula essa probabilidade para alguns tamanhos N de grupos.
N
1
2
5
10
20
30
40
50
60
Pr(coincidência)
0
0,3%
   2,7%
12%
41%
71%
89%
97%
99%

Pode-se ver da tabela que a probabilidade de coincidências cresce rapidamente à medida que o tamanho do grupo aumenta e em grupos de 50 pessoas é praticamente certo (97% de chances) haver ao menos 1 coincidência de datas. O valor N =23 é o primeiro numero a partir do qual a probabilidade de haver a coincidência é maior que a probabilidade dela não ocorrer. Esse numero é surpreendentemente baixo. Se você arriscar com grupos desse tamanho, terá sucesso em metade das vezes.

Assim, na próxima reunião informal ou festa que você for, pode fazer um pequeno jogo afirmando que haverá coincidências de datas de aniversários de pelo menos 2 dos presentes. Acredito que você poderá  impressionar ao menos parte da platéia. A tabela acima é um guia para você avaliar as chances de sucesso do seu jogo antes de realiza-lo, de acordo com o tamanho do grupo.

Como fazer a conta?

Como de costume, temos de fazer algumas suposições simplificadoras:

1. as chances de uma pessoa nascer em um dia não dependem do dia, isto é, todos os dias tem as mesmas chances de ser o aniversário de uma pessoa;
2. os aniversários das pessoas no grupo não são relacionados, isto é, não existem gêmeos;
3. o ano tem 365 dias e os aniversariantes do dia 29 de fevereiro serão agregados ao dia 28 de fevereiro. 

A hipótese 1 pode ser questionada pois talvez existam dias mais prováveis. Se isso acontecer, as probabilidades desses dias não devem ser substancialmente mais altas que as dos outros dias. A hipótese 2 também parece razoável. De qualquer forma, as 2 hipóteses não fazem com que as chances aumentem. Na realidade, desconfio que elas diminuam as chances de coincidências de datas. A hipótese 3 é só para facilitar as contas mas poderia ser descartada sem grandes alterações nos resultados. Essa hipótese também é necessária para que a hipótese 1 seja aceitável.

Então, Pr ( pelo menos 2 aniversariantes no mesmo dia ) = 1 - Pr ( ninguém no grupo faz aniversário no mesmo dia de outra pessoa do grupo ).

Baseado nas hipóteses, temos que qualquer configuração de datas de aniversário das pessoas do grupo tem as mesmas chances. Assim, qualquer probabilidade que queiramos calcular é uma simples contagem de número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos possíveis.

Começando pelo mais fácil, o número total de casos possíveis é 365 x 365 x ... x 365 = (365)N, pois cada uma das N pessoas tem 365 possibilidades para seu aniversário. Para calcular o número de casos favoráveis, teremos que considerar 365 possibilidades para a 1a pessoa mas apenas 364 para a 2a pessoa. Afinal, ela pode fazer aniversário em qualquer dia desde que não coincida com o dia do aniversário da 1a pessoa. Prosseguindo nesse raciocínio, teríamos 363 possibilidades para a 3a pessoa, e assim sucessivamente até [365 - (N-1)] possibilidades para a última pessoa do grupo. 

Assim, chegamos ao resultado que Pr ( pelo menos 2 aniversariantes no mesmo dia ) 
= 1 - { 365 x 364 x ... x  [365 - (N-1)] }/(365)N.

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