Krigagem - parte II

Ferreira & Gamerman (2015, Bayesian Analysis)

A postagem anterior sobre o assunto foi bastante genérica. Eu gostaria de fornecer um pouco mais de detalhes sobre a operacionalização dos métodos de krigagem. Como lá mencionado, a krigagem consiste em obtenção de preditores ótimos, levando em conta a estrutura de dependência espacial existente no fenômeno em estudo. Raramente essa estrutura é conhecida e faz-se portanto necessária a estimação desse fenômeno. 

Para que isso possa ser feito, algumas hipóteses de trabalho terão de ser adicionadas. As hipóteses mais usuais, que permitem a obtenção de resultados mais simples, são as de estacionariedade e isotropia. Um fenômeno é estacionário se as propriedades estatísticas observadas em uma região do espaço são as mesmas que as observadas em qualquer outra região. Essa hipótese é fundamental para garantir estimadores com boas propriedades. Caso contrário, não haveria informação suficiente nos dados. A hipótese de isotropia é ainda mais restritiva e impõe que as similaridades dependam apenas da distância sendo considerada e não da direção. Ambas as hipóteses são questionáveis mas em contextos geológicos, elas tendem a ser razoáveis. 

Uma vez feitas essas hipóteses, pode-se descrever a correlação entre 2 pontos quaisquer através de uma função simples, chamada de função de correlação. Isto é, as medições feitas em 2 locais distintos estão correlacionadas através de uma fórmula dada pela função de correlação. Por exemplo, a função de correlação esférica diz que a correlação entre 2 medições feitas a uma distância h é dada por 

1 - 1,5 (h/d) + 0,5 (h/d)³, se h < d; e 0, caso contrário

Note que d é a distância a partir da qual a correlação se anula. A  função de correlação tem algumas propriedades que são comuns em modelos geoestatísticos:

1) a correlação entre 2 medições feitas no mesmo local é 1, ou seja, não existe erro de medição;

2) a correlação decai a 0 à medida que a distância entre os pontos aumenta;

3) a correlação varia suavemente à medida que a distância entre os pontos aumenta;

4) a correlação depende de algum parâmetro associado ao alcance da dependência espacial. No caso da correlação esférica, esse parâmetro é d.

Algumas vezes, é preciso assumir que existe erro de medição e pequenas modificações são feitas para acomodar esse fenômeno, conhecido em Geoestatística como efeito pepita (nugget effect).

A estimação dos parâmetros da função de correlação pode ser feita usando estimadores convencionais da correlação. Preocupações com a possibilidade de variâncias e mesmo médias infinitas levaram Matheron a propor a estimação através de um novo instrumento, chamado por ele de variograma. A fórmula do variograma é

E[ Z ( s + h ) - Z ( s ) ]², 

ou seja,  a esperança do quadrado da diferença entre medições Z situadas a uma distância h. As propriedades esperadas de uma função de correlação tem tradução direta aqui:

1) o variograma inicia do valor 0 ou do efeito pepita, caso ele exista, para distâncias nulas;
2) o variograma cresce até atingir um patamar, a partir do qual ele se mantem inalterado para qualquer distância;
3) o variograma varia suavemente à medida que a distância entre os pontos aumenta;
4) o alcance é dado pela distância a partir da qual a diferença para o patamar se torna desprezível.

O variograma depende apenas das distâncias devido à hipótese de estacionariedade. Isso permite que ele seja estimado levando em conta a informação de toda a região de interesse. Ele costuma ser estimado pela média das diferenças observadas entre medições situadas a uma distância h (a figura acima ilustra isso). Versões robustas desse estimador foram propostas por Cressie e Hawkins e fazem parte de muitos aplicativos (software) de Geoestatística.

Hoje em dia, o uso de modelagem hierárquica tornou esse processo bem mais sofisticado e em geral ele consiste de uma etapa dentro de uma estrutura mais ampla. Mas as idéias básicas permanecem inalteradas e continuam fornecendo balizamento para trabalhos realizados nessa área.