Matemáticos medem infinitos e descobrem que são iguais*

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por Kevin Hartnett

Em um avanço que refuta décadas de sabedoria convencional, dois matemáticos mostraram que duas variantes diferentes do infinito são, na verdade, do mesmo tamanho. O avanço toca em um dos problemas mais famosos e intratáveis ​​na matemática: se existem infinitos entre o tamanho infinito dos números naturais e o tamanho infinito maior dos números reais.

O problema foi identificado pela primeira vez há mais de um século. Na época, os matemáticos sabiam que "os números reais são maiores que os números naturais, mas não quanto maiores. É o próximo tamanho maior, ou há um tamanho entre eles?", disse Maryanthe Malliaris, da Universidade de Chicago, co-autora do novo trabalho junto com Saharon Shelah da Universidade Hebraica de Jerusalém e da Universidade Rutgers.

Em seu novo trabalho, Malliaris e Shelah resolvem uma questão relacionada de 70 anos sobre se um infinito (chamemos de p) é menor do que outro infinito (chamemos de t). Eles provaram que os dois são de fato iguais, para a surpresa dos matemáticos.

"Foi certamente minha opinião, e a opinião geral, que p deve ser menor do que t", disse Shelah.

Malliaris e Shelah publicaram sua prova no ano passado no Journal of the American Mathematical Society e foram homenageados em julho passado com um dos principais prêmios no campo da teoria de conjuntos. Mas seu trabalho tem ramificações muito além da questão específica de como esses dois infinitos estão relacionados. Ele abre uma conexão inesperada entre os tamanhos de conjuntos infinitos e um esforço paralelo para mapear a complexidade das teorias matemáticas.

Muitos infinitos

A noção de infinito é flexível. Mas a idéia de que pode haver diferentes tamanhos de infinito? Essa é talvez a descoberta matemática mais contraditória já feita. Emerge, no entanto, de um jogo de correspondência, que mesmo as crianças pudessem entender.

Suponha que você tenha dois grupos de objetos ou dois "conjuntos", como os matemáticos os chamariam: um conjunto de carros e um conjunto de motoristas. Se houver exatamente um motorista para cada carro, sem carros vazios e sem motoristas deixados para trás, então você sabe que o número de carros é igual ao número de motoristas (mesmo se você não souber qual é esse número).

No final do século 19, o matemático alemão Georg Cantor capturou o espírito desta estratégia de correspondência na linguagem formal da matemática. Ele provou que dois conjuntos têm o mesmo tamanho, ou "cardinalidade", quando eles podem ser colocados em correspondência um a um com o outro - quando há exatamente um motorista para cada carro. Talvez mais surpreendentemente, ele mostrou que essa abordagem funciona para conjuntos infinitamente grandes também.

Em um avanço que refuta décadas de sabedoria convencional, dois matemáticos mostraram que duas variantes diferentes do infinito são, na verdade, do mesmo tamanho. O avanço toca em um dos problemas mais famosos e intratáveis ​​na matemática: se existem infinitos entre o tamanho infinito dos números naturais e o tamanho infinito maior dos números reais.

Considere os números naturais: 1, 2, 3 e assim por diante. O conjunto dos números naturais é infinito. Mas e quanto ao conjunto de apenas os números pares, ou apenas os números primos? Cada um desses conjuntos pareceria, em princípio, ser um subconjunto menor dos números naturais. E, de fato, em qualquer trecho finito da linha numérica, há cerca de metade de números pares como números naturais e ainda menos números primos.

No entanto, conjuntos infinitos se comportam de forma diferente. Cantor mostrou que há uma correspondência um-para-um entre os elementos de cada um desses conjuntos infinitos.

1 2 3 4 5 … (números naturais)
2 4 6 8 10 … (pares)
2 3 5 7 11 … (primos)

Por isso, Cantor concluiu que os três conjuntos são do mesmo tamanho. Matemáticos chamam conjuntos desse tamanho "contáveis", porque você pode atribuir um número de contagem a cada elemento em cada conjunto.

Depois de estabelecer que os tamanhos de conjuntos infinitos podem ser comparados, colocando-os em correspondência um a um, Cantor fez um salto ainda maior: provou que alguns conjuntos infinitos são ainda maiores que o conjunto de números naturais.

Considere os números reais, que são todos os pontos na linha numérica. Os números reais às vezes são chamados de "continuum", refletindo a sua natureza contínua: não há espaço entre um número real e o próximo. Cantor conseguiu mostrar que os números reais não podem ser colocados em uma correspondência um-para-um com os números naturais: mesmo depois de você criar uma lista infinita para emparelhar números naturais com números reais, sempre é possível criar outro número real que não está na sua lista. Por isso, ele concluiu que o conjunto de números reais é maior do que o conjunto de números naturais. Assim, nasceu um segundo tipo de infinito: o incontavelmente infinito.

O que Cantor não conseguiu descobrir é se existe um tamanho intermediário do infinito - algo entre o tamanho dos números naturais contáveis ​​e os números reais incontáveis. Ele achou que não, uma conjectura agora conhecida como a hipótese do continuum.

Em 1900, o matemático alemão David Hilbert elaborou uma lista de 23 dos problemas mais importantes em matemática. Ele colocou a hipótese do continuum no topo. "Parecia uma pergunta extremamente urgente para se responder", disse Malliaris.

No século anterior, a questão revelou-se quase exclusivamente resistente aos melhores esforços dos matemáticos. Existem infinitos intermediários? Talvez nunca possamos saber.

Forçamento

Ao longo da primeira metade do século 20, os matemáticos tentaram resolver a hipótese do contínuo estudando diversos conjuntos infinitos que apareceram em muitas áreas da matemática. Eles esperavam que, comparando esses infinitos, eles poderiam começar a entender o espaço possivelmente não vazio entre o tamanho dos números naturais e o tamanho dos números reais.

Muitas das comparações provaram ser difíceis de serem feitas. Na década de 1960, o matemático Paul Cohen explicou o porquê. Cohen desenvolveu um método chamado "forçamento" que demonstrou que a hipótese do continuum é independente dos axiomas da matemática - isto é, não poderia ser comprovada dentro do quadro da teoria dos conjuntos. (O trabalho de Cohen complementou o trabalho de Kurt Gödel em 1940 que mostrou que a hipótese do continuum não poderia ser refutada nos axiomas usuais da matemática).

O trabalho de Cohen ganhou-lhe a Medalha Fields (uma das maiores honras das matemáticas) em 1966. Os matemáticos posteriormente usaram forçamento para resolver muitas das comparações entre infinitos que foram colocados durante o meio século anterior, mostrando que estes também não poderiam ser respondidos dentro do quadro da teoria dos conjuntos. (Especificamente, a teoria de conjunto de Zermelo-Fraenkel mais o axioma de escolha.)

Contudo, alguns problemas permaneceram, incluindo uma questão da década de 1940 sobre se p é igual a t. Tanto p como t são ordens de infinito que quantificam o tamanho mínimo de coleções de subconjuntos dos números naturais de maneiras precisas (e aparentemente únicas).

Os detalhes dos dois tamanhos não são muito importantes. O que é mais importante é que os matemáticos rapidamente descobriram duas coisas sobre os tamanhos de p e t. Primeiro, ambos os conjuntos são maiores do que os números naturais. Em segundo lugar, p é sempre menor ou igual a t. Portanto, se p for menor que t, então p seria um infinito intermediário - algo entre o tamanho dos números naturais e o tamanho dos números reais. A hipótese do continuum seria falsa.

Os matemáticos tenderam a assumir que a relação entre p e t não poderia ser comprovada no âmbito da teoria dos conjuntos, mas também não conseguiram estabelecer a independência do problema. A relação entre p e t permaneceu nesse estado indeterminado por décadas. Quando Malliaris e Shelah encontraram uma maneira de resolvê-lo, era só porque eles estavam procurando por outra coisa.

Uma Ordem de Complexidade

Ao mesmo tempo que Paul Cohen estava forçando a hipótese do continuum além do alcance da matemática, uma linha de trabalho muito diferente estava começando no campo da teoria do modelo.

Para um teórico de modelo, uma "teoria" é o conjunto de axiomas, ou regras, que definem uma área de matemática. Você pode pensar na teoria do modelo como uma maneira de classificar as teorias matemáticas - uma exploração do código fonte da matemática. "Eu acho que a razão pela qual as pessoas estão interessadas em classificar teorias é que eles querem entender o que realmente está causando que certas coisas aconteçam em áreas de matemática muito diferentes", disse H. Jerome Keisler, professor emérito de Matemática na Universidade de Wisconsin, Madison.

Em 1967, Keisler introduziu o que agora é chamado de ordem de Keisler, que procura classificar as teorias matemáticas com base na sua complexidade. Ele propôs uma técnica para medir a complexidade e conseguiu provar que as teorias matemáticas podem ser classificadas em pelo menos duas classes: as que são minimamente complexas e as que são maximamente complexas. "Foi um pequeno ponto de partida, mas meu sentimento nesse ponto era que haveria infinitas classes", disse Keisler.

Nem sempre é óbvio o que significa que uma teoria seja complexa. Muito trabalho nessa área é motivado em parte por um desejo de entender essa questão. Keisler descreve a complexidade como a variedade de coisas que podem acontecer em uma teoria - e as teorias em que mais coisas podem acontecer são mais complexas do que teorias em que poucas coisas podem acontecer.

Um pouco mais de uma década depois de Keisler ter apresentado sua ordem, Shelah publicou um livro influente, que incluiu um importante capítulo que mostra que há saltos naturais na complexidade - linhas divisórias que distinguem teorias mais complexas de menos complexas. Depois disso, pouco progresso foi feito na ordem da Keisler por 30 anos.

Então, em sua tese de doutorado de 2009 e outros artigos iniciais, Malliaris reabriu o trabalho na ordem de Keisler e forneceu novas evidências de seu poder como um programa de classificação. Em 2011, ela e Shelah começaram a trabalhar juntos para entender melhor a estrutura da ordem. Um dos seus objetivos era identificar mais sobre as propriedades que tornam uma teoria maximamente complexa de acordo com o critério de Keisler.

Malliaris e Shelah observaram duas propriedades em particular. Eles já sabiam que a primeira causava complexidade máxima. Eles queriam saber se a segunda também fazia. À medida que seu trabalho progrediu, eles perceberam que esta questão era paralela à questão de saber se p e t são iguais. Em 2016, Malliaris e Shelah publicaram um artigo de 60 páginas que resolveu ambos os problemas: provaram que as duas propriedades são igualmente complexas (ambas causam a máxima complexidade), e provaram que p é igual a t.

"De alguma forma tudo se alinhou", disse Malliaris. "É uma constelação de coisas que foram resolvidas".

Em julho passado, Malliaris e Shelah receberam a medalha de Hausdorff, um dos principais prêmios da teoria dos conjuntos. A honra reflete a natureza surpreendente e surpreendentemente poderosa de suas provas. A maioria dos matemáticos esperava que p fosse menor do que t, e que uma prova dessa desigualdade seria impossível no âmbito da teoria dos conjuntos. Malliaris e Shelah provaram que os dois infinitos são iguais. Seu trabalho também revelou que a relação entre p e t tem muito mais profundidade do que os matemáticos tinham percebido.

"Eu acho que as pessoas pensavam que se, por acaso, os dois cardinais fossem prováveis como iguais, a prova talvez fosse surpreendente, mas seria um argumento curto e inteligente que não envolve a construção de alguma maquinária real", disse Justin Moore, matemático da Universidade de Cornell, que publicou uma breve visão geral da prova de Mallaria e de Shelah.

Em vez disso, Malliaris e Shelah provaram que p e t são iguais ao cortar um caminho entre a teoria do modelo e a teoria dos conjuntos, que já está abrindo novas fronteiras de pesquisa em ambos os campos. Seu trabalho também finalmente coloca um problema que os matemáticos esperavam que ajudasse a resolver a hipótese do continuum. Ainda assim, a sensação esmagadora entre os especialistas é que essa proposição, aparentemente insolúvel, é falsa: enquanto o infinito é estranho de muitas maneiras, seria quase tão estranho se não houvesse muitos mais tamanhos do que os que já encontramos.

* - texto publicado na Quanta Magazine, em 12 de setembro de 2017