Quando devemos casar?

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Como já dissemos antes, a probabilidade é uma ferramenta poderosa e permite uma serie de cálculos importantes nos mais diferentes aspectos de nossa vida. Uma curiosidade é que elas nos ensina também qual é a melhor hora para escolhermos nossos parceiros. Na realidade, esse cálculo não é especifico para casamentos. Ele serve para outros pareamentos importantes, como por exemplo a escolha do melhor empregado para uma instituição. Mas acho que ele fica mais interessante no contexto da escolha de sua cara-metade. Vamos supor daqui pra frente que estamos falando da escolha de um marido, para evitar sobrecarregar a notação necessária para tratar dos 2 sexos.

O cálculo do melhor momento para casar pode ser feito a partir de algumas  premissas relativamente inócuas:

1. existe um único  melhor candidato para ser o seu par perfeito;
2. ele tem as mesmas chances de aparecer a qualquer momento de sua vida amorosa, desde o início até o seu final;
3. o parceiro escolhido é o melhor candidato dentre os já  vistos, a partir de um dado momento de decisão.  Antes desse momento, todos os candidatos são descartados;
4. uma vez descartado, o candidato não pode mais ser escolhido.
5. cada vez que aparece um namorado, sabemos dizer se ele e melhor que seus antecessores;
6. o momento de decisão é escolhido de forma a tornar máxima a probabilidade de ter escolhido o par perfeito.

As premissas 1, 2 e 5 parecem razoáveis. (Na realidade, a 5a premissa é uma generalização da 1a). A 3a premissa é questionável mas também tem sua lógica. Não se deve casar com aqueles que aparecem logo no início pois é grande a chance de não se ter visto ainda o par perfeito. Por outro lado, não se deve deixar para muito tarde pois as chances do par perfeito já ter sido visto e descartado é grande. A 4a premissa é mais polêmica mas sabemos de muitos casos onde uma vez descartado, o par perfeito segue outros caminhos e não é mais encontrado ou não se mostra mais disponível. A 6a premissa estabelece o critério de escolha do momento de decisão. Claro que existem inúmeras outras formas de definir esse momento mas o critério de escolha acima é, no mínimo, razoável.

De posse dessas premissas e apenas com elas, é possível fazer contas que nos apontam o momento ótimo de decisão. Essa conta é elementar e não envolve nenhum conceito elaborado de matemática mas explora com razoável profundidade a tradução em números das premissas acima listadas. Para não prejudicar a apresentação de idéias, ela será feita apenas ao final dessa postagem. Quem quiser, não precisa acessa-la.

O resultado da conta é o mais interessante aqui. Ele mostra que o momento de decisão deve ser tomado após observar cerca de 37-38% dos candidatos. Outra curiosidade é que o valor dessa probabilidade máxima também é de cerca de 37-38%! Isso mostra que a chance de escolher o melhor candidato é relativamente baixa e depende muito pouco do número N de namorados que a pessoa terá.

Como ilustração, seguem abaixo alguns valores de N, dos correspondentes R ótimos e das probabilidades de escolha do par perfeito

N	1	2	3	4	5	10	20	40	50	100	1000
R	1	2	2	2	3	4	8	16	19	38	369
Pr(PP)	1	0,5	0,5	0,458	0,433	0,399	0,384	0,376	0,374	0,371	0,368

 Note que a probabilidade  estabiliza mais rápido que o valor do momento ótimo de decisão. 

A primeira e óbvia pergunta que aparece é se esse número depende de quantos namorados uma pessoa terá na vida. Afinal uma pessoa mais tímida ou introspectiva irá se relacionar com menos pessoas ao passo que pessoas mais extrovertidas ou desinibidas tenderão a se relacionar com muito mais parceiros. Por mais surpreendente que possa parecer, o momento de decisão é muito pouco afetado pelo número de namorados que uma pessoa terá.

Note que o momento de decisão é baseado em uma proporção. Portanto, pessoas mais extrovertidas irão namorar mais pessoas mas a proporção de pessoas namoradas antes do momento de decisão é quase a mesma que a de uma pessoa mais tímida. Pode se ver da tabela acima que uma pessoa que poderá namorar 100 pessoas na vida deve começar a escolher o seu par a partir do 38o namoro ao passo que uma pessoa que poderá namorar apenas 10 pessoas na vida deve começar a escolher o seu par a partir do 4o namoro.

Uma dificuldade que não havia sido mencionada até agora é que para saber quando chega seu momento de decisão a pessoa precisa saber quantos possíveis namoros poderia ter em sua vida. Esse número é claramente desconhecido mas pode ser estimado informalmente a partir dos primeiros namoros. 

O resultado dessa conta parece corresponder relativamente bem ao que se observa na prática. Suponha que  nossa vida amorosa tem início em torno dos 15 anos e ela segue ativa até o final de nossa vida, embora a um ritmo gradativamente mais lento. Parece razoável supor que a marca de 37% dos relacionamentos de uma pessoa será atingida entre os seus 25 e 35 anos, faixa etária onde se concentra a maioria dos casamentos. 

Assim, além de resolver importantes problemas da ciência, a probabilidade também serve para resolver importantes problemas de relacionamento inter-pessoal.

Como fazer a conta?

Vamos chamar de R o momento de decisão, de N o número de namoros de uma pessoa e de PP o evento designando que o par perfeito foi escolhido.

Precisamos calcular o valor da probabilidade de escolher o par perfeito para cada momento de decisão R. Com isso, teremos Pr(PP|R=1) , Pr (PP|R=2), ... , Pr(PP|R=N). Para quem ainda não viu probabilidades condicionais, leia as probabilidades acima como probabilidades de escolha do par perfeito assumindo que R=1, R=2, ..., R=N. Feito isso, basta comparar os diferentes valores dessas probabilidades e ver qual delas é a maior.

Vamos agora fixar o valor de R=r para poder fazer essas contas.

O par perfeito pode aparecer em qualquer dos N namoros da vida da pessoa. Assim, Pr(PP|R=r) = Pr(PP no 1o. namoro |R=r) + Pr(PP no 2o. namoro |R=r) + ... + Pr(PP no ultimo namoro |R=r)

Mas Pr(PP no i-ésimo namoro |R=r) = Pr (i-ésimo candidato é escolhido e é o melhor | R=r) = Pr (i-ésimo candidato é escolhido | i-ésimo candidato é o melhor , R=r) x Pr (i-ésimo candidato é o melhor)

Se i < r, é impossível que o melhor candidato seja escolhido pois só são escolhidos candidatos após o r-ésimo quando R=r. Logo,  Pr(PP no i-ésimo namoro | i-ésimo candidato é o melhor , R=r) = 0, se i = 1, 2 , ... , r-1.

Se i=r, Pr (i-ésimo candidato é escolhido | i-ésimo candidato é o melhor , R=r) = 1

Se i > r, Pr (i-ésimo candidato é escolhido | i-ésimo candidato é o melhor , R=r) = Pr ( o melhor entre os 1os. i-1 candidatos está entre os 1os. r-1 candidatos ) = (r-1)/(i-1).

Caso contrário, isto é,  se o melhor entre os i-1 anteriores não estiver entre os r-1 1os candidatos, ele acabará sendo escolhido, impossibilitando a escolha do melhor.

A conta é completada com Pr (i-ésimo candidato é o melhor) = i/N, pela 2a. premissa.

Logo, Pr(PP|R=r) = 1 x (1/N) + [(r-1)/r] x (1/N) + [(r-1)/(r+1)] x (1/N) + ... + [(r-1)/(N-1)] x (1/N) =  [(r-1)/N] x [ (1/(r-1)) + (1/r) + ... + (1/(N-1))]

Essa conta envolve apenas soma, multiplicação e divisão e pode ser feita facilmente. Para cada N podem ser calculados os valores de Pr(PP|R=1), Pr(PP|R=2), ... , Pr(PP|R=N) e determinado qual dessas probabilidades é a maior. Com isso, tem-se o valor de R  ótimo e de Pr(PP|R=r). São esses os valores listados na tabela acima.