Extremos

Grande parte da Estatística é devotada à análise e identificação de um padrão central. Estamos em geral interessados em saber onde se encontram os dados e uma das mais eficazes formas de dizer isso é através de medidas centrais como média e mediana. Existem outras situações onde o interesse se situa muito mais nas caudas ou extremos da distribuição do que em sua posição central. 

Os principais exemplos são problemas ambientais e problemas financeiros. No primeiro caso, a preocupação maior é com as consequências que fenômenos climáticos extremos podem ter sobre as populações a eles sujeitas. Chuvas muito fortes podem causar danos graves às populações a eles submetidas, podendo resultar em enchentes, vendavais e deslizamentos de terra. O resultado final pode envolver centenas de mortes, como infelizmente ocorreu recentemente na região serrana do Rio (foto acima). No segundo caso, podemos ter grandes ganhos ou grandes perdas com investimentos em ativos financeiros como ações de uma empresa ou com a taxa de câmbio. Note que em ambos os grupos de problemas, a identificação da média da distribuição tem uma importância secundária.

A questão então é como tratar desses dados extremos para poder prevê-los com extrapolação. Os registros de vazão de um rio são fundamentais para determinação da altura de barreiras em usinas hidro-elétricas. É impossível garantir que essa altura não será nunca ultrapassada. O que se faz é estabelecer o limite de forma que ele só seja ultrapassado 1 vez a cada tantos anos (ex: 200 anos). Mas pode ser que só tenhamos dados de 100 anos. Precisaremos então encontrar um valor nunca antes observado. Isso envolve uma extrapolação. Note que esse problema é mais difícil que prever médias pois aqui os dados são mais rarefeitos pela sua natureza, isto é, observa-se muito menos dados extremos que dados em torno da média. Aliás, é isso que os caracteriza como extremos! Tendo menos informação, fica mais difícil entendê-los.

Felizmente, algumas soluções que nos ajudam muito foram encontradas. Num resultado surpreendente, foi mostrado que, sob condições bastante gerais, o comportamento da cauda é bastante previsível probabilisticamente falando. Também existem resultados interessantes sobre máximos e mínimos de um grupo de observações. Esses resultados na realidade tratam de situações limite inatingíveis na prática (por exemplo, quando a cauda se aproxima de infinito) mas fornecem boas aproximações para situações práticas. 

Com esses resultados, problemas de extrapolação como o da construção de barreiras podem ser resolvidos mesmo sem termos os dados associados a períodos de 200 anos, usando apenas os dados de 100 anos. Similarmente, uma companhia de seguro precisa se prevenir de grandes perdas de um dado montante mesmo sem nunca haver tido perdas dessa magnitude. O que se faz é usar os dados das grandes perdas  já obtidas, acoplados aos resultados sobre o comportamento na cauda, para poder extrapolar para perdas maiores. 

Mais uma vez, é a Estatística vindo ao auxílio da sociedade na solução de problemas.