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"Arte", disse Picasso, "é a mentira que nos faz entender a verdade." O mesmo poderia ser dito para o cálculo como modelo da natureza. Para ver o porquê, deixe-me contar uma história sobre o velocista mais rápido do planeta.
A noite de 16 de agosto de 2008 estawva sem vento em Pequim. Às 10:30, os oito homens mais rápidos do mundo alinharam-se para as finais da corrida de 100 metros. Um deles, um velocista jamaicano de 21 anos chamado Usain Bolt, foi um novato relativo a este evento. Conhecido mais como um homem de 200 metros, ele implorou ao seu treinador por anos para deixá-lo tentar correr a corrida mais curta, e no ano passado ele se tornou muito bom nisso.
ele não parecia com os outros corredores. Ele era desajeitado, 1,80m de altura, com um passo longo e saltitante. Quando menino, ele havia se concentrado no futebol e no críquete até que seu treinador de críquete percebeu sua velocidade e sugeriu que ele tentasse sair na pista. Quando adolescente, continuou melhorando como corredor, mas nunca levou o esporte ou a si mesmo a sério demais. Ele era tolo e travesso e gostava de brincadeiras.
Naquela noite em Pequim, depois que todos os atletas foram apresentados e terminaram suas apresentações às câmeras de TV, o estádio ficou quieto. Os corredores colocaram seus pés nos blocos e se agacharam na posição. Um oficial gritou: “Em suas marcas. A postos", e depois disparou a pistola de partida.
Bolt atirou para fora dos blocos, mas não tão explosivamente quanto os outros atletas olímpicos. Seu tempo de reação mais lento o deixou em sétimo dos oito compedtidores perto do começo. Ganhando velocidade, em 30 metros ele subiu para o meio da manada. Então, ainda acelerando como um trem-bala, ele colocou a luz do dia entre ele e o resto.
Aos 80 metros, ele olhou para a direita para ver onde estavam seus principais competidores. Quando ele percebeu o quão longe ele estava, diminuiu a velocidade visivelmente, deixou cair os braços para os lados e deu um tapa no peito enquanto cruzava a linha de chegada. Alguns comentaristas viram isso como se gabando, outros como uma comemoração alegre, mas, em todo caso, Bolt claramente não sentiu a necessidade de correr duro no final, o que levou a especulações sobre o quão rápido ele poderia ter corrido. Mesmo com sua comemoração (e um cadarço desamarrado), ele estabeleceu um novo recorde mundial de 9,69 segundos.
Quão rápido ele correu? Bem, 100 metros em 9,69 segundos se traduz em 100/9,69 = 10,32 metros por segundo. Em unidades mais familiares, isso é cerca de 37 quilômetros por hora ou 23 milhas por hora. Mas essa foi a sua velocidade média durante toda a corrida. Ele foi mais lento do que isso no início e no final e mais rápido do que isso no meio.
Informação mais detalhada pode ser obtido olhando seus tempos a cada 10 metros na pista. Ele cobriu os primeiros 10 metros em 1,83 segundos, correspondendo a uma velocidade média de 5,46 metros por segundo (12,2 milhas por hora). Suas divisões mais rápidas ocorreram em 50 a 60 metros, 60 a 70 metros e 70 a 80 metros. Ele atravessou as seções de 10 metros em 0,82 segundo cada, para uma velocidade média de 12,2 metros por segundo (27,3 milhas por hora). Nos 10 metros finais, quando ele relaxou e quebrou a forma, ele desacelerou para uma velocidade média de 11,1 metros por segundo (24,8 milhas por hora).
Os seres humanos evoluíram para identificar padrões, então, em vez de se debruçar sobre números como os que acabamos de fazer, normalmente é mais informativo visualizá-los. O gráfico a seguir mostra os tempos decorridos nos quais Bolt cruzou 10 metros, 20 metros, 30 metros e assim por diante, até os 9,69 segundos que levou para cruzar a linha de chegada.
https://www.quantamagazine.org/infinite-powers-usain-bolt-and-the-art-of-calculus-20190403/
Eu conectei os pontos com linhas retas como um guia visual, mas tenha em mente que apenas os pontos são dados reais. Juntos, os pontos e os segmentos de linha entre eles formam uma curva poligonal. As inclinações dos segmentos são menores à esquerda, correspondendo à velocidade mais baixa de Bolt no início da corrida. Eles se inclinam para cima enquanto se movem para a direita; Isso significa que ele está acelerando. Então eles se juntam para formar uma linha quase reta, indicando a velocidade alta e constante que ele manteve durante a maior parte da corrida.
É natural se perguntar a que horas ele estava correndo seu mais rápido absoluto e onde na pista que ocorreu. Sabemos que sua velocidade média mais rápida, em uma seção de 10 metros, ocorreu entre 50 e 80 metros, mas uma velocidade média acima de 10 metros não é exatamente o que queremos; Estamos interessados em sua velocidade máxima. Imagine que Usain Bolt estivesse usando um velocímetro. Em que momento exato ele estava correndo mais rápido? E exatamente o quão rápido foi isso?
O que estamos procurando aqui é uma maneira de medir sua velocidade instantânea. O conceito parece quase paradoxal. A qualquer momento, Usain Bolt estava exatamente em um lugar. Ele estava congelado, como num instantâneo. Então, o que significaria falar de sua velocidade naquele instante? A velocidade só pode ocorrer em um intervalo de tempo, não em um único instante.
O enigma da velocidade instantânea remonta à história da matemática e da filosofia, por volta de 450 a.C. com Zeno e seus paradoxos temíveis. Lembre-se que em seu paradoxo de Aquiles e da tartaruga, Zeno afirmou que um corredor mais rápido nunca poderia ultrapassar um corredor mais lento, apesar do que Usain Bolt provou naquela noite em Pequim. E em seu paradoxo de flecha, Zeno argumentou que uma flecha em vôo nunca poderia se mover. Os matemáticos ainda não sabem ao certo que ponto ele estava tentando fazer com seus paradoxos, mas meu palpite é que as sutilezas inerentes à noção de velocidade em um instante perturbaram Zeno, Aristóteles e outros filósofos gregos. Seu desconforto pode explicar por que a matemática grega sempre teve tão pouco a dizer sobre movimento e mudança. Como o infinito, esses tópicos desagradáveis parecem ter sido banidos da conversa educada.
Dois mil anos depois de Zeno, os fundadores do cálculo diferencial resolveram o enigma da velocidade instantânea. Sua solução intuitiva era definir a velocidade instantânea como um limite - especificamente, o limite de velocidades médias obtidas em intervalos de tempo cada vez mais curtos.
Para que esta estratégia tenha sucesso, temos que assumir que a distância dele na pista variou suavemente. Caso contrário, o limite que estamos investigando não existirá e os resultados não abordarão nada sensato à medida que os intervalos diminuírem. Mas a distância dele realmente varia suavemente em função do tempo? Nós não sabemos com certeza. Os únicos dados que temos são amostras discretas dos tempos decorridos de Bolt em cada um dos marcadores de 10 metros na pista. Para estimar sua velocidade instantânea, precisamos ir além dos dados e adivinhar onde ele estava, por vezes, entre esses pontos.
Uma maneira sistemática de fazer tal suposição é conhecida como interpolação. A ideia é desenhar uma curva suave entre os dados disponíveis. Em outras palavras, queremos conectar os pontos, não por segmentos de linhas retas como já fizemos, mas pela curva mais plausível que passa pelos pontos ou, pelo menos, que fica muito próxima deles. As restrições que impomos a essa curva são de que ela deve ficar esticada e não ondular demais; deve passar o mais perto possível de todos os pontos; e deve mostrar que a velocidade inicial de Bolt era zero, já que sabemos que ele estava imóvel quando estava na posição agachada. Existem muitas curvas diferentes que atendem a esses critérios. Estatísticos criaram uma série de técnicas para ajustar curvas suaves aos dados. Todos eles dão resultados semelhantes e, como todos envolvem um pouco de adivinhação, não vamos nos preocupar muito com qual deles usar.
Abaixo está um exemplo de uma curva suave que satisfaz todas as exigências.
https://www.quantamagazine.org/infinite-powers-usain-bolt-and-the-art-of-calculus-20190403/
Como a curva é suave por construção, podemos calcular sua inclinação em todos os pontos. O gráfico resultante nos dá uma estimativa da velocidade de Usain Bolt a cada instante de sua corrida recorde naquela noite em Pequim.
https://www.quantamagazine.org/infinite-powers-usain-bolt-and-the-art-of-calculus-20190403/
Isso indica que Bolt atingiu uma velocidade máxima de cerca de 12,3 metros por segundo (27,5 milhas por hora) em cerca de três quartos na corrida. Até então, ele estava acelerando, ganhando velocidade a cada momento. Depois disso, ele desacelerou, tanto que sua velocidade caiu para 10,1 metros por segundo (22,6 milhas por hora) quando ele cruzou a linha de chegada. O gráfico confirma o que todos viram; Bolt diminuiu drasticamente perto do final, especialmente nos últimos 20 metros, quando ele relaxou e comemorou.
No ano seguinte, no Campeonato Mundial de 2009 em Berlim, Bolt pôs fim à especulação sobre o quão rápido ele poderia ir. Ele correu duro até o final e quebrou seu recorde mundial de 9,69 segundos em Pequim, com um tempo ainda mais surpreendente de 9,58 segundos. Por causa da grande expectativa em torno deste evento, pesquisadores biomecânicos estavam à mão com armas de laser, semelhantes às armas de radar usadas pela polícia para capturar speeders. Esses instrumentos de alta tecnologia permitiram que os pesquisadores medissem as posições dos velocistas 100 vezes por segundo. Quando eles calcularam a velocidade instantânea de Bolt, foi o que encontraram:
https://www.quantamagazine.org/infinite-powers-usain-bolt-and-the-art-of-calculus-20190403/
As pequenas oscilações na tendência geral representam os altos e baixos na velocidade que inevitavelmente ocorrem durante as passadas. Correr, afinal de contas, é uma série de saltos e aterrissagens. A velocidade de Bolt mudou um pouco quando ele pousou um pé no chão e momentaneamente freou, depois se lançou para frente e se lançou no ar novamente.
Por mais intrigantes que sejam, essas pequenas mexidas são irritantes e incômodas para um analista de dados. O que realmente queríamos ver era a tendência, não as oscilações, e, para esse propósito, a abordagem anterior de ajustar uma curva suave aos dados era tão boa quanto talvez melhor. Depois de coletar todos os dados de alta resolução e observar as oscilações, os pesquisadores tiveram que limpá-los de qualquer maneira. Eles os filtraram para desmascarar a tendência mais significativa.
Para mim, essas oscilações trazem uma lição maior. Eu as vejo como uma metáfora, uma espécie de fábula instrucional sobre a natureza da modelagem de fenômenos reais com o cálculo. Se tentarmos levar a resolução de nossas medições longe demais, se olharmos para qualquer fenômeno em detalhes extremamente sutis no tempo ou no espaço, começaremos a ver uma quebra de suavidade. Nos dados de velocidade de Usain Bolt, as oscilações tomaram uma tendência suave e fizeram com que parecesse tão espesso quanto um limpador de cachimbo. A mesma coisa aconteceria com qualquer forma de movimento se pudéssemos medi-lo na escala molecular. Abaixo desse nível, o movimento fica agitado e longe de ser suave. O cálculo não teria mais muito a nos dizer, pelo menos não diretamente. No entanto, se nos preocupamos com as tendências gerais, suavizar o nervosismo pode ser bom o suficiente. A enorme percepção que o cálculo nos deu sobre a natureza do movimento e da mudança neste universo é uma prova do poder da suavidade, por mais aproximada que possa ser.
Há uma última lição aqui. Na modelagem matemática, como em toda a ciência, sempre temos que fazer escolhas sobre o que enfatizar e o que ignorar. Galileu descobriu a fórmula para o movimento de uma bola rolando por uma rampa, mas, para encontrá-la, ele teve que ignorar o atrito e a resistência do ar. Isaac Newton usou o cálculo e suas leis de movimento e gravidade para explicar por que os planetas se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol, mas para isso ele teve que ignorar os puxões competitivos de todos os outros planetas do sistema solar. A arte da abstração está em saber o que é essencial e o que é minúcia, o que é sinal e o que é ruído, o que é tendência e o que é o que é mexido. É uma arte porque essas escolhas sempre envolvem um elemento de perigo; eles chegam perto do desejo e da desonestidade intelectual. Os maiores cientistas, como Galileu e Newton, conseguem de alguma forma caminhar ao longo desse precipício.
* - artigo publicado em 03 de abril de 2019 na revista on-line Quanta Magazine
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